Hola a todos!
¿Cómo andan? hace dos semanas que no tenemos meet porque se nos superpone con otras cosas. Hoy tuve el encuentro por el día del estudiante con los otros cursos (el que tengo con ustedes mañana) y la clase de la semana pasada porque se nos superpuso con los zoom informativos. No se preocupen, la semana que viene nos encontramos de nuevo con todas las dudas que tengan.
Para continuar trabajando y no perder el hilo, les dejo las resoluciones de los límites trigonométricos.
Continuamos con los límites fundamentales, ahora toca el caso de el exponencial.
En este nuevo caso particular, como lo es el límite trigonométrico, en vez de calcular el límite entero, solamente tenemos que llegar a una expresión, y cuando llegamos a ella, es cuando llegamos al resultado.
El límite fundamental exponencial es este:
Como pueden ver, una vez que llegan a la expresión del tipo:
decimos que la expresión tiende a e, cuando u tiende a ∞.
Esa "e" es un número irracional (como 𝛑) y vale aproximadamente 2,72, pero NO hay que sustituir el valor numérico, sólo tenemos que dejar la respuesta en función de e.
Hagamos un ejemplo:
Supongamos que tenemos que resolver el siguiente límite:
Si reemplazamos la x por el ∞, caemos en una indeterminación del tipo 1 a la infinito. Para resolver ésto, vamos a tener que hacer una sustitución para poder llevar todo al límite exponencial:
Entonces, con esa igualdad entre x y u tenemos que también hacer un cambio en el exponente:
No hay que olvidarse de reemplazar la x por la u en el límite. O sea, si tenemos que x tiende a infinito y que u es x/2, entonces:
Ahora tenemos que poner todo en el límite original:
Si sacamos el exponente (porque sabemos que si se multiplican tenemos una potencia de potencia), el límite nos termina quedando:
Y ahi tenemos la respuesta: 
Entonces, hagamos un resumen.
Básicamente lo que hay que entender es que los ejercicios se van a presentar de forma que tengan que calcular el límite de (1+f(x)). En el caso del ejemplo anterior, el f(x) fue el (2/x).
Si el 1 no está, tenemos que hacer operaciones para que aparezca (y no mágicamente). Después tenemos que encontrar una relación entre la x y la u, para luego reemplazar todo y llevarlo a la forma exponencial.
En lugar del usual (1/u), puede estar h, entonces:
Y entonces nos termina quedando:
Y por ende:
Estas son las dos formas que pueden ser "transformadas" en el límite fundamental exponencial. Las dos son válidas, y se puede usar una o la otra. Con práctica, se van a dar cuenta cuál de las dos les conviene usar dependiendo del ejercicio.
Vean estos ejemplos en video.
La clase que viene vamos a ver como se hace si no está ese "1+"
A practicar!. Hagan los siguientes ejercicios.
¡Buena semana!
Prof. Agustina (agustina.innocenti@bue.edu.ar)