MATEMÁTICA 5A Y 5B

 Hola a todos!

Hasta la clase anterior estuvimos trabajando el concepto de límite, qué es, como salvar una indeterminación, como se resuelve, los límites especiales, etc.

Ahora vamos a seguir trabajando. Y a ponerle onda que es lo último del año 💃

CONCEPTO DE DERIVADA

El autito de abajo se mueve hacia la derecha.

Si les digo que el auto se movió 100km desde las 10:00 hasta las 11:00, y les pregunto ¿cuál es la velocidad promedio del auto? ¿y cuál es su velocidad a las 10:30? ¿Se acuerdan cómo hacer para responder a esas preguntas? Les doy una pista, lo vimos el año pasado en física, pero igualmente, si no se acuerdan, se puede deducir muy fácilmente.

Miren bien, la primera pregunta es sobre la velocidad promedio, mientras que la segunda es acerca de una velocidad que posee en cierto momento (velocidad instantánea). Vamos por partes dijo Jack el destripador.

Primero lo primero, que es la mas fácil.

Para saber una velocidad promedio tenemos que calcular cuantos km recorre en una hora:

Ahora, si queremos responder la segunda pregunta con la información que tenemos, ¡es imposible!.

La velocidad instantánea puede ser 100 km/h, pero eso en el caso de que el auto haya mantenido una velocidad constante siempre (MRU), pero también puede ser 0 km/h, si justo en ese instante frenó. Cuestión hay muchas posibilidades posibles.

Y entonces, ¿cómo hacemos para calcular la velocidad instantánea?, bueno eso es a través de nuestra (bueno, mi) amada derivada!. Pero, ¿qué es la derivada?

"La derivada es la razón (resultado de la división) de variación instantánea de una magnitud en relación a otra."

En nuestro caso seria la variación de la posición en relación al tiempo.

Dije todo esto y sin embargo es todo muy abstracto, ¿no?, ¡esperen! ya les voy a explicar en detalle.

RELACIÓN ENTRE LÍMITES Y DERIVADAS:

¿Están de acuerdo que en un lapso (intervalo) muy chiquito yo podría aproximar la velocidad en el instante por el promedio?

O sea, para un objeto que se mueve con posición descrita en función del tiempo s(t) yo puedo ir aproximando su velocidad instantánea en el punto A, por una velocidad promedio en este punto y alguien cercano al punto.

Voy a mostrarles con un ejemplo aproximando para un tiempo t=1; t=3:

Para tener una precisión más grande, voy a usar t=2, que está mas cerca de t=1:

Me acerco más, t=1,5:

Vamos a generalizar de la siguiente forma, en donde voy a decir que estamos en cierto intervalo t=1; t=1+∆t:

quiero que este ∆t se mucho pero muuuucho más chiquito, o sea, quiero que se acerque cada vez más a cero, entonces lo voy a hacer tender a 0, ¿cómo? con el límite yendo para 0:

El resultado que nos de este límite va a depender de la función s(t). Vamos a poner un ejemplo:

Supongamos que s(t)=t², s en m y t en s. ¿Cuál es la velocidad del autito en t=1seg? Sólo nos queda aplicar la fórmula:

Así, la velocidad instantánea para un punto t₀ cualquiera, sólo tengo que cambiar el 1 por el valor de  t₀ :

Generalizando, la función f(x), así como para s(t), puede ser calculada por su definición que es: 

NOTACIÓN:

Si quisiéramos representar esa derivada de la función, escribiríamos así:

Existen varias formas de representar una derivada. La más explícita de todas es:

Se lee derivada de y con relación a x. Otra manera, más práctica quizás, y la que más vamos a usar, es la siguiente:

INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA DERIVADA:

Gráficamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Eso puede parecer bastante abstracto al principio, pero es una noción a la cuál se van a tener que ir acostumbrando.

Para entender más, miren este gráfico:

Vamos de a poco. Hay una función azul. Y tenemos su recta tangente en un punto cualquiera.

La ecuación de la recta va a ser:

La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función en ese punto (definición gráfica):

La pendiente también se relaciona gráficamente con la inclinación que tiene la recta, y esa está determinada por el ángulo que la recta forma con el eje :

Si quieren pensarlo de una manera más "real",  para que no se pierdan en todas estas relaciones matemáticas, imaginen que el gráfico son los rieles de un tren vistos desde arriba, y que en un determinado punto, esos rieles se rompen. La dirección que el vagón del tren va a seguir en ese punto es la dirección de la recta tangente. ¿Se entiende?

Como consecuencia, podemos decir que, cuanto más inclinada es esa recta tangente, más grande es la derivada de la función; cuanto menos inclinada es la recta tangente, más pequeña es la derivada de la función trabajada.

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

¡Ahora si, les toca a ustedes! Calculen las siguientes derivadas por definición:

¡Buen Miércoles para todos!

Prof. Agustina (agustina.innocenti@bue.edu.ar)