Ya terminamos de salvar las indeterminaciones 0/0 e ∞/∞. Por cierto, les dejo las actividades de la clase anterior resueltas.
Ahora vamos a empezar a trabajar con los Límites fundamentales.
LÍMITES FUNDAMENTALES TRIGONOMÉTRICOS
Supongamos que se nos presenta el siguiente límite a resolver:
Parece que es algo nuevo, no? algo que nunca habíamos trabajado. Bueno, en realidad no es tan así. De alguna manera se podría decir que lo vimos. Miren:
Siempre tenemos que partir del límite fundamental trigonométrico. Aprovechando que ya sabemos el resultado:
El problema que les presenté anteriormente, se resuelve usando el límite fundamental trigonométrico (siempre y cuando haya una indeterminación, claro está), sólo que van a tener que jugar un poco con las identidades trigonométricas.
Por ejemplo:
Sabemos, justamente por las identidades, que:
Por lo tanto podemos reemplazar en el límite dicha identidad y nos quedaría una cosa así:
Si se fijan, apareció (no mágicamente, sino que lo manipule para que apareciera) el límite fundamental trigonométrico, y la parte que nos generaba una indeterminación, ya la puedo salvar y resolver. Hagámoslo para que quede claro:
Como vieron en el ejemplo anterior es importantísimo que se acuerden de las identidades trigonométricas. Les voy a dejar una lista de las más útiles a la hora de resolver límites:
Otra cosa que se utiliza mucho para resolver este tipo de límites es multiplicar por el conjugado. ¿Qué es eso? multiplicar numerador y denominador por la misma relación pero cambiado el signo (lo usábamos mucho en tercer año cuando racionalizábamos denominadores). Por ejemplo:
Ahora hago mi magia (separando la x y el senx) de forma que me quede la identidad trigonométrica fundamental y voilá, resolvimos el límite.
¿Que haríamos si se nos presenta el siguiente caso?
Como verán es muy parecido al original. Pero no es el mismo. Lo que nos conviene usar acá para resolver el límite es lo que llamamos sustitución.
Vamos a reemplazar "lo que me molesta" (3x) por otra letra, la que quieran, yo voy a usar la u. Vamos a decir entonces que u=3x, y como estamos cambiando la variable x por la variable u, el x del denominador también va a sufrir alteraciones (despejamos la x de esa ecuación y llegamos a que x=u/3), al igual que la x a la que tiende el límite, solo que ahí tenemos que pensar un poco más:
Como pueden ver, la u ahora tiende a 0, como la x. Entonces, reemplazando en el límite nos queda lo siguiente:
Ahora nos queda servido el límite fundamental trigonométrico y lo puedo resolver fácilmente:
Generalizando, para resolver límites trigonométricos, cuando se nos presenta un problema que no podemos resolver, tenemos que, de alguna manera matemática (no mágica), hacer aparecer el limite fundamental trigonométrico y listo, a resolver!.
Si quieren saber usar estas propiedades trigonométricas rápidamente solo hay que hacer una cosa: practicar!.
Cualquier cosa pueden recurrir a la carpeta de clases virtuales donde está la grabación de la explicación.
¡Buena semana!
Prof. Agustina (agustina.innocenti@bue.edu.ar)