Hola a todos!!
Seguimos trabajando con los número enteros. La clase anterior estudiamos la multiplicación y la división. Les dejo los ejercicios resueltos para que chequeen resultados.
Hoy vamos a ver la potenciación y radicación de los números enteros.
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
- ¿Qué es una potencia?
Una potencia es una multiplicación de varios factores iguales.
El factor que se repite se denomina base; el número que indica la cantidad de veces que se repite la base se llama exponente, y el resultado, potencia. Es decir:
an = a · a · a · … · a
El producto se hace n veces .
La base, a, es el factor que se repite. El exponente, n, indica el número de veces que se repite la base.
Por ejemplo:
a) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
b) 02 = 0 · 0 = 0
c) 40 = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un número por sí mismo 0 veces)
d) 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
e) 19 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
Veamos que pasa cuando la base es un número negativo. Por ejemplo:
a) (-3)2 = 9
b) (-3)3 =- 27
c) (-2)8 = 256
d) (-2)9 = -512
e) 28 = 256
¿qué relación ves que hay con el signo de la potencia y el exponente?
Como ves en los ejemplos anteriores todas las potencias que dan como resultado un número negativo, sus exponentes son números impares, volvé a mirar los ejemplos b) y d). En cambio, si los exponentes son números pares, como el ejemplo a) y c) sus resultados son siempre números positivos.
Por lo tanto se puede decir en general que:
Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo.
Pero si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo.
Ahora observa estas dos potencias:
-28 =- 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =-256
(-2)8 = (-2) · (-2) · (-2) ·(- 2) ·(- 2) · (-2) · (-2) ·(- 2) = 256
Como podes observar -28 no es igual a (-2)8
Es muy importante antes de seguir, que repasemos las propiedades de la potenciación:
Multiplicación de potencias de igual base
Observa el siguiente ejemplo:
23 . 23 . 23 . 23 = 23+3+3+3 = 2 3.4 = 212
Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales.
Cociente de potencias de igual base
Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base:
58 : 54 = 58 - 4 = 54 = 625
Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales.
Potencia de una potencia
El resultado de calcular la potencia de una potencia es una potencia con la misma base, y cuyo exponente es la el producto de los dos exponentes. Por ejemplo:
(23)5 = 23.5 = 215
Distributiva respecto a la multiplicación y a la división
Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia tienes dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo:
Podes primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia:
(4·5)4 = 204= 160000
O bien podes elevar cada número por separado al exponente y después multiplicar los resultados.
(4·5)4 = 4 4 . 54 = 256·625 = 160000
De forma análoga podes proceder si se trata del cociente de dos números elevado a la misma potencia.
(3 : 2)4 = 1, 5 4 = 5, 0625
(3 : 2)4 = 34 : 24 = 81 : 16 = 5,0625
Observa que de las dos formas obtienes el mismo resultado. Ahora bien, no siempre será igual de sencillo de las dos formas. Así que piensa de antemano qué método va a ser más conveniente para realizar el cálculo.
NO distributiva respecto a la suma y a la resta
No se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:
Por ejemplo:
(6 + 3)2 ≠ 62 + 32 porque (6 + 3)2 = 92 = 81
62 + 32 = 36 + 9 = 45
81 ≠ 45
(10 - 6)2 ≠ 102 - 62 porque (10 - 6)2 = 42 = 16
102 - 62 = 100 - 36 = 64
16 ≠ 64
La radicación es la operación que “deshace” la potenciación.
En el ejemplo anterior, el 9 se llama radicando, el 2 índice y el resultado 3, raíz.
La definición formal de esta operación es la siguiente:
Si n es un número natural, se dice que el número entero a es la raíz enésima del número entero b, si b es la potencia enésima de a. Es decir:
Veamos otros ejemplos:
Veamos que sucede cuando el radicando es un número negativo:
En el ultimo ejemplo se debería buscar un número elevado "a la cuatro" que de como resultado -81, ¿existirá algún número que cumpla esa condición?
Si recordaste lo estudiado cuando se trabajó con la operación de potenciación, tu respuesta debería ser negativa, no existe ningún número entero que cumpla esa condición.
En general: cuando el índice e par y el radicando un número negativo, el resultado no existe en el conjunto de los números enteros.